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    赛马会会员料免费公开:数学模型小应用

    赛马会cc赛马net直播间 www.skmac.tw 来源:UC论文网2019-04-18 10:31

    摘要:

      【摘要】21世纪是信息时代,信息的收集与传递越来越方便,因此,相对于知识的积累与获得,知识的应用显得越来越重要了。随着数学在实际中的应用越来越多,数学建模越来越受到人们的关注,但是如何更好地建立数学模型一直都是大家探讨的热点?!  竟丶省渴P?;小应用;案例  作者:梁靓  案例:椅子问题  把椅子置于地面时,如果只有三只脚着地,椅子经常放不稳,通常需要调整几次方可将椅子放稳,试用数学语言...

      【摘要】21世纪是信息时代,信息的收集与传递越来越方便,因此,相对于知识的积累与获得,知识的应用显得越来越重要了。随着数学在实际中的应用越来越多,数学建模越来越受到人们的关注,但是如何更好地建立数学模型一直都是大家探讨的热点。


      【关键词】数学模型;小应用;案例


      作者:梁靓


      案例:椅子问题


      把椅子置于地面时,如果只有三只脚着地,椅子经常放不稳,通常需要调整几次方可将椅子放稳,试用数学语言对此问题给以表述,并用数学工具说明椅子能否在地面上放稳?若能,请给予证明并给出做法,否则说明理由。


      【问题分析】


      为了构造距离函数和设定相关参数,让我们实际操作一下,从中搜集信息,弄清其特征。要想四只脚同时着地,通常有四种方法:其一是将椅子搬离原地,换个位置试验;另一个做法是原地旋转试验,由于前一种方法需要研究的范围可能要很大,这里我们采取第二种做法。通过实地操作,易得出结论:只要地面相对平坦,没有地面大起大落的情况,那么随着旋转角度的不同,三只脚同时落地后,第四只脚与地面距离也不同(不仅如此,旋转中总各有两个脚同时着地,另两个脚不稳定)。也就是说,这个距离函数与旋转角度有关,是旋转角度的函数,于是一个确定的函数关系便找到了,不仅如此,我们的问题也顺其自然地转化为是否存在一角度,使得四个距离函数同时为零?


      综上分析,问题可以归结为证明函数零点的存在性,遂决定试用函数模型予以处理。


      【模型假设】


      根据前面的分析,我们可作如下假设:


      1)椅子的四只脚同长。


      2)将椅子的脚与地面接触处看成是一个几何点,四角连线为正方形。


      3)地面相对平坦,即在旋转所在地面范围内,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。


      4)地面高度连续变化,可视地面为数学上的连续曲面。


      【建立模型】


      首先,引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。


      依据假设条件,四只脚连线呈正方形,因而以其中心为对称点,令正方形绕中心旋转便可表示椅子位置的改变,于是可以用旋转角度的变化表达椅子的不同位置。为此,我们以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,并假设旋转开始时(角度θ=0)四个椅脚点A,B,C,D中的A点和C点位于x轴上,B点和D点位于y轴上。旋转角度θ后,点A,B,C,D变到点A′,B′,C′,D′(图1)。显然,随着θ的改变,椅子的位置也随着改变,从而椅脚与地面距离也随之改变。尽管椅子有四只脚,有四个距离,但对于每个角度,总有点A、C同时着地而点B、D不同时着地或点B、D同时着地,而点A、C不同时着地,故只要设两个距离函数即可。因此设A、C两脚与地面距离之和为fθ,B、D两脚与地面距离之和为gθ,且作为距离函数的fθ、gθ均为非负函数。由假设(3)可知,对任意角度θ,恒有fθ=0,gθ0或gθ=0。故fθgθ=0对任意θ成立。


      要证明存在角度θ0,使fθ0=0,gθ0=0同时成立,还需要条件支持。注意到在初始位置(θ=0)处,有f0=0,g0>0或f0>0,g0=0,而旋转90°后,两组条件恰好交换。因此,椅子通过旋转改变位置能放稳的证明,便归结为证明如下的数学命题,即


      已知fθ、gθ是θ的连续函数,对任意θ,fθgθ=0且f0=0时g0>0,fπ2>0时gπ2=0。


      求证:存在θ0∈0,π2,使fθ0=gθ0=0。


      这就是椅子问题的数学模型。由此可见只需引进一个变量θ及其一元函数fθ、gθ,便把模型条件和结论用简单又精确的数学语言表述出来,从而形成所需要的数学模型。

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